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¿Hay alguna forma de minimizar el ruido de la cuerda chocando con el traste mediante algún pedal, multiefectos o similar? ¿Alguna equalización en concreto?

Buscando un ajuste adecuado, sin demasiada acción tampoco para evitar desafines y altura incómoda. Si el ajuste que tienes ya es el que gustas, prueba cuerdas planas o recorte de tono. Todo lo que quite medios/agudos.

No estaría de más revisar la pulsación de la mano derecha, y la posición de los dedos de la mano izquierda con respecto a lugar donde se pisan los trastes.

Si estás hablando del ruido que ocurre al instante en que la cuerda entra en contacto con el traste que es como un "clic".
Hay 3 parámetros a tomar en cuenta.
El primero es la fuerza con la que lo haces, comprueba que los dedos de tu mano izquierda no estén muy alejados de la cuerda antes de presionarla (al controlar eso, además ganarás en velocidad y precisión)
La ecualización también es importante, cuando más agudos más ruido
Por último, el tipo de cuerda, por ejemplo, las cuerdas de entorchado redondo de nickel hacen más ruido y si están muy tensas más aún, concretamente, las cuerdas Elixir Nanoweb tienden a producir más ruido que una cuerdas de acero.

Me gusta el sonido bastante claro y he tenido que lidiar con este problema. Controlando lo que mencioné antes y cambiando de Elixir, que me gustaban mucho, a DR High Beans se solucionó.

Añado eso a parte. También hay otros parámetros que influyen pero tendrías que dar.mas detalles sobre tu bajo, tu ampli y tus efectos si usas alguno.
Un compresor , el nivel con el que entras en tu ampli, una distorsión, que pastilla y madera tiene tu bajo etc... todo eso puede influir también.